代数例

$f (x) = 3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$

ステップ 1

$3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3 x^{4}$ を $3 x^{6} + 30 x^{5} + 75 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$3 x^{4}$ を $3 x^{6}$ で因数分解します。

$3 x^{4} (x^{2}) + 30 x^{5} + 75 x^{4} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$3 x^{4}$ を $30 x^{5}$ で因数分解します。

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 75 x^{4} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$3 x^{4}$ を $75 x^{4}$ で因数分解します。

$3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

ステップ 2.1.1.4

$3 x^{4}$ を $3 x^{4} (x^{2}) + 3 x^{4} (10 x)$ で因数分解します。

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25) = 0$

ステップ 2.1.1.5

$3 x^{4}$ を $3 x^{4} (x^{2} + 10 x) + 3 x^{4} (25)$ で因数分解します。

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

ステップ 2.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$3 x^{4} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 2.1.2.3

多項式を書き換えます。

$3 x^{4} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.1.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 2.3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x + 5)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x + 5)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x + 5)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.5

最終解は $3 x^{4} {(x + 5)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $4$ の重複度）

$x = - 5$ （ $2$ の重複度）

$x = 0$ （ $4$ の重複度）

$x = - 5$ （ $2$ の重複度）

ステップ 3

代数 例

代数例