代数例

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{x - 5}{x - 3}$ を引きます。

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

ステップ 2

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x - 1}{x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

ステップ 2.2

$- \frac{x - 5}{x - 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) (x - 3)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{x - 1}{x + 2}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{x - 5}{x - 3}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

ステップ 2.3.3

$(x - 3) (x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.2.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.2.1.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.2.2

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 5) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.6.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.6.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.6.1.3

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.6.2

$- 2 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.7

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.8

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.9

$- 4 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.5.10

$3$ と $10$ をたし算します。

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.7

$13$ を $- 1 (- 13)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 13)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9

$- (x - 13)$ を $- 1 (x - 13)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $13$ を足します。

$x = 13$

ステップ 5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 13, - 2, 3$

ステップ 9

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 2) (x - 3) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 9.2.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 9.2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 9.2.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 9.2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 9.2.4

最終解は $(x + 2) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 3$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

ステップ 11.1.3

左辺 $2.5$ は右辺 $1.\overline{285714}$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

区間 $- 2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 0.5$ は右辺 $1.\overline{6}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $3 < x < 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

区間 $3 < x < 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

ステップ 11.3.3

左辺 $0.7$ は右辺 $0.6$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間 $x > 13$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

区間 $x > 13$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 16$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $16$ で置き換えます。

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

ステップ 11.4.3

左辺 $0.8\overline{3}$ は右辺 $0.\overline{846153}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 3$ 偽

$3 < x < 13$ 真

$x > 13$ 偽

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 3$ 偽

$3 < x < 13$ 真

$x > 13$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $3 < x < 13$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

ステップ 14

代数 例

代数例