代数例

$f (x) = \ln (3 x)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (3 x)$ を方程式で書きます。

$y = \ln (3 x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \ln (3 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\ln (3 y) = x$ として書き換えます。

$\ln (3 y) = x$

ステップ 3.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (3 y)} = e^{x}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (3 y) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x} = 3 y$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $3 y = e^{x}$ として書き換えます。

$3 y = e^{x}$

ステップ 3.4.2

$3 y = e^{x}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$3 y = e^{x}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{3}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ が $f (x) = \ln (3 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln (3 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

ステップ 5.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{e^{x}}{3})$ の値を求めます。

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

ステップ 5.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.3.4

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \ln (e)$

ステップ 5.3.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \cdot 1$

ステップ 5.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ は $f (x) = \ln (3 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$

代数 例

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