代数例

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

ステップ 2.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $7^{y - 1}$ をまとめます。

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

ステップ 2.3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

ステップ 2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$7^{y - 1} = 3 x$

ステップ 2.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

ステップ 2.5

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

ステップ 2.6

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$(y - 1) \ln (7)$ を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

分配則を当てはめます。

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

ステップ 2.6.1.2

$- 1 \ln (7)$ を $- \ln (7)$ に書き換えます。

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

ステップ 2.7

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

ステップ 2.8

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.8.1

方程式の両辺に $\ln (7)$ を足します。

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

ステップ 2.8.2

方程式の両辺に $\ln (3 x)$ を足します。

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

ステップ 2.9

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ の各項を $\ln (7)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.9.1

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ の各項を $\ln (7)$ で割ります。

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

ステップ 2.9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.9.2.1

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

ステップ 2.9.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

ステップ 2.9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.9.3.1

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

ステップ 2.9.3.1.2

式を書き換えます。

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ が $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

ステップ 4.2.3.1.2

$7^{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

ステップ 4.2.3.2

$x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (7^{x - 1})$ を展開します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

ステップ 4.2.3.3

$\ln (7)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

ステップ 4.2.3.3.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

ステップ 4.2.4

$1 + x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ の値を求めます。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

ステップ 4.3.3

$(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

ステップ 4.3.3.2

$0$ と $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ をたし算します。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

ステップ 4.3.4

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

ステップ 4.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

ステップ 4.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

ステップ 4.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

ステップ 4.3.6.3

式を書き換えます。

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ は $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

代数 例

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