代数例

$f (x) = (x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17)$

ステップ 1

$(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17)$ が $0$ に等しいとします。

$(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

$x^{2} + 8 x + 17 = 0$

ステップ 2.2

$x^{2} + 2 x - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + 2 x - 15$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ について $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 2.2.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.2.2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.2.2.4

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.2.4.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.2.2.4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.2.2.5

最終解は $(x - 3) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5$

ステップ 2.3

$x^{2} + 8 x + 17$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + 8 x + 17$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 8 x + 17 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} + 8 x + 17 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.2.2

$a = 1$ 、 $b = 8$ 、および $c = 17$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 17$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.2.2

$- 4$ に $17$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.3

$64$ から $68$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 2 i}{2}$

ステップ 2.3.2.3.3

$\frac{- 8 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 4 \pm i$

ステップ 2.3.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 4 + i, - 4 - i$

ステップ 2.4

最終解は $(x^{2} + 2 x - 15) (x^{2} + 8 x + 17) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5, - 4 + i, - 4 - i$

ステップ 3

代数 例

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