代数例

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

ステップ 1.2

不等式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

ステップ 2

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.2

$- x$ と $\frac{x - 4}{x - 4}$ をまとめます。

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.4.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.4.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.4.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.4.4

$3 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.4.5

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

ステップ 2.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$7 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.7.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.7.3

$- x^{2} + 8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.7.4

$x$ を $- x^{2} + 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.4.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.7.4.2

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.7.4.3

$x$ を $x (- x) + x \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.9

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.10

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.11

$- (x - 8)$ を $- 1 (x - 8)$ に書き換えます。

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

ステップ 2.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 4

$- x = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- x = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 6

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 0, 8, 4$

ステップ 9

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 4 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

ステップ 11.1.3

左辺 $0.\overline{3}$ は右辺 $- 3$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 5$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $4 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $4 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

ステップ 11.3.3

左辺 $11$ は右辺 $5$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

ステップ 11.4.3

左辺 $5.\overline{6}$ は右辺 $9$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$4 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$4 < x < 8$ 偽

$x > 8$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$0 \leq x < 4$ または $x \geq 8$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

ステップ 14

代数 例

代数例