代数例

$x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

有理根検定を用いて $x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

$q = \pm 1$

ステップ 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 144, \pm 2, \pm 72, \pm 3, \pm 48, \pm 4, \pm 36, \pm 6, \pm 24, \pm 8, \pm 18, \pm 9, \pm 16, \pm 12$

ステップ 1.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{4} + 2 \cdot 3^{3} - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.2

$3$ を $4$ 乗します。

$81 + 2 \cdot 3^{3} - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.3

$3$ を $3$ 乗します。

$81 + 2 \cdot 27 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $27$ をかけます。

$81 + 54 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.5

$81$ と $54$ をたし算します。

$135 - 23 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.6

$3$ を $2$ 乗します。

$135 - 23 \cdot 9 - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.7

$- 23$ に $9$ をかけます。

$135 - 207 - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.8

$135$ から $207$ を引きます。

$- 72 - 24 \cdot 3 + 144$

ステップ 1.1.3.9

$- 24$ に $3$ をかけます。

$- 72 - 72 + 144$

ステップ 1.1.3.10

$- 72$ から $72$ を引きます。

$- 144 + 144$

ステップ 1.1.3.11

$- 144$ と $144$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144}{x - 3}$

ステップ 1.1.5

$x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ を $x - 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

ステップ 1.1.5.2

被除数 $x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

ステップ 1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{4} - 3 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

ステップ 1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

ステップ 1.1.5.7

被除数 $5 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

ステップ 1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

ステップ 1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{3} - 15 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

ステップ 1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

ステップ 1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

ステップ 1.1.5.12

被除数 $- 8 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

ステップ 1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

ステップ 1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 x^{2} + 24 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

ステップ 1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

ステップ 1.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

ステップ 1.1.5.17

被除数 $- 48 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

ステップ 1.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

ステップ 1.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 48 x + 144$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

ステップ 1.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$23 x^{2}$

$24 x$

$144$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$23 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$8 x^{2}$

$24 x$

$8 x^{2}$

$24 x$

$48 x$

$144$

$48 x$

$144$

$0$

ステップ 1.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$

ステップ 1.1.6

$x^{4} + 2 x^{3} - 23 x^{2} - 24 x + 144$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) (x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48) = 0$

ステップ 1.2

有理根検定を用いて $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

ステップ 1.2.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 1.2.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 1.2.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 1.2.3.4

$5$ に $9$ をかけます。

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 1.2.3.5

$27$ と $45$ をたし算します。

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

ステップ 1.2.3.6

$- 8$ に $3$ をかけます。

$72 - 24 - 48$

ステップ 1.2.3.7

$72$ から $24$ を引きます。

$48 - 48$

ステップ 1.2.3.8

$48$ から $48$ を引きます。

$0$

ステップ 1.2.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48}{x - 3}$

ステップ 1.2.5

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ を $x - 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$8 x$

$48$

ステップ 1.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$

ステップ 1.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 1.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 1.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

ステップ 1.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 1.2.5.7

被除数 $8 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 1.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

ステップ 1.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x^{2} - 24 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

ステップ 1.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$

ステップ 1.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$

ステップ 1.2.5.12

被除数 $16 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$

ステップ 1.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							+	$16 x$	-	$48$

ステップ 1.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 x - 48$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							-	$16 x$	+	$48$

ステップ 1.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$8 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$16 x$	-	$48$
							-	$16 x$	+	$48$
										$0$

ステップ 1.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 8 x + 16$

ステップ 1.2.6

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 48$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 8 x + 16)) = 0$

ステップ 1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 8 x + 4^{2})) = 0$

ステップ 1.3.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 1.3.1.3

多項式を書き換えます。

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 1.3.1.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 3) ((x - 3) {(x + 4)}^{2}) = 0$

ステップ 1.3.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.4

同類因数をまとめます

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.4.2

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$(x - 3) (x - 3) {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 3)}^{1 + 1} {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3

${(x - 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

${(x - 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について ${(x - 3)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5

最終解は ${(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 3$ （ $2$ の重複度）

$x = - 4$ （ $2$ の重複度）

ステップ 6

代数 例

代数例