代数例

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $3 e^{- 4 y + 1} = x$ として書き換えます。

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

ステップ 2.2

$3 e^{- 4 y + 1} = x$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3 e^{- 4 y + 1} = x$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

ステップ 2.2.2.1.2

$e^{- 4 y + 1}$ を $1$ で割ります。

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 2.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 4 y + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 4 y + 1})$ を展開します。

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 2.4.3

$- 4 y + 1$ に $1$ をかけます。

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

ステップ 2.5

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

ステップ 2.6

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 2.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 2.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

ステップ 2.6.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ が $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.1.2

$e^{- 4 x + 1}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.2

対数の法則を利用して指数の外に $- 4 x + 1$ を移動します。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.4

$- 4 x + 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.5

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.6

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

ステップ 4.2.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

ステップ 4.2.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$4 x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

ステップ 4.2.5.1.2

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 4.2.5.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

ステップ 4.2.5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ の値を求めます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ に書き換えます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.1.2

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ を簡約します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.1.3

$\frac{1}{3}$ と $x$ をまとめます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.1.4

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.3

$- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.3.2

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ を簡約します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

ステップ 4.3.3.4.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

ステップ 4.3.3.4.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.1

積の法則を $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.2.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.2.2

簡約します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.3.1

${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.3.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.3.5.3.2

指数を求めます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

ステップ 4.3.4

$\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

ステップ 4.3.4.2

$\ln (\frac{x}{3})$ と $0$ をたし算します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

ステップ 4.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 4.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 4.3.6.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ は $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

代数 例

代数例