代数例

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式に $y - 1$ を掛けます。

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$(y - 1) (x)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 3.2.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y x - x = y + 1$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$y x - x - y = 1$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$y x - y = 1 + x$

ステップ 3.4.3

$y$ を $y x - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$y$ を $y x$ で因数分解します。

$y (x) - y = 1 + x$

ステップ 3.4.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

ステップ 3.4.3.3

$y$ を $y (x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = 1 + x$

ステップ 3.4.4

$y (x - 1) = 1 + x$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$y (x - 1) = 1 + x$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ が $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

ステップ 5.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

ステップ 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

ステップ 5.2.4.2

まとめる。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

ステップ 5.2.5

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.6.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.2.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.8.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.2.8.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

ステップ 5.2.8.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

ステップ 5.2.8.5

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

ステップ 5.2.8.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

ステップ 5.2.8.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.9.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

ステップ 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

ステップ 5.3.3.2

まとめる。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.5

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.5.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.5.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.5.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.6.3

$x + x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.6.4

$x$ と $x$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

ステップ 5.3.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.3.7.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.3.7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

ステップ 5.3.7.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

ステップ 5.3.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

ステップ 5.3.7.6

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

ステップ 5.3.7.7

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.3.8.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ は $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

代数 例

代数例