代数例

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

ステップ 1.1.2

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ です。

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π}{12} (x - 2)$ とします。

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

ステップ 1.2.3

$\frac{π}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π}{12} (x - 2)$ の微分係数は $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ です。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

ステップ 1.2.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

ステップ 1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

ステップ 1.2.8

$\frac{π}{12}$ に $1$ をかけます。

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

ステップ 1.2.9

$\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ と $\frac{π}{12}$ をまとめます。

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

ステップ 1.2.10

$5$ と $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ をまとめます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$\frac{π}{12}$ と $- 2$ をまとめます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.2

$- 2$ を $π$ の左に移動させます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.3

$- 2$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$2$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.5

$\frac{π}{12}$ と $x$ をまとめます。

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

ステップ 1.3.2.6

$0$ と $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ をたし算します。

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

ステップ 1.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{5 π}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ の微分係数は $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ です。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ とします。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{5 π}{12}$ と $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

ステップ 2.3.3

$\frac{π}{12}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π x}{12}$ の微分係数は $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

ステップ 2.3.5

$\frac{π}{12}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

ステップ 2.3.6

$- \frac{π}{6}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{6}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

ステップ 2.3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\frac{π}{12}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{π}{12}$ に $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

ステップ 2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

ステップ 2.5

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

ステップ 2.8

$12$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ の各項を $5 π$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ の各項を $5 π$ で割ります。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

ステップ 5.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

ステップ 5.1.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

ステップ 5.1.2.2.2

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ を $1$ で割ります。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$0$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$5$ を $0$ で因数分解します。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

ステップ 5.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.2.1

$5$ を $5 π$ で因数分解します。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

ステップ 5.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

ステップ 5.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

ステップ 5.1.3.2

$0$ を $π$ で割ります。

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

ステップ 5.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

方程式の両辺に $\frac{π}{6}$ を足します。

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.4.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.4.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

ステップ 5.4.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.5.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

ステップ 5.4.5.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

ステップ 5.4.6

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

ステップ 5.4.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

ステップ 5.4.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.5

方程式の両辺に $\frac{12}{π}$ を掛けます。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.6.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

ステップ 5.6.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.2.1

$π$ を $2 π$ で因数分解します。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

ステップ 5.6.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

ステップ 5.6.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x = 4 \cdot 2$

ステップ 5.6.2.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$x = 8$

ステップ 5.7

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.8.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.8.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.8.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.8.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.8.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{6}$ を足します。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.8.2.2

$\frac{3 π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.8.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.3.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.8.2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 5.8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

ステップ 5.8.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.5.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

ステップ 5.8.2.5.2

$9 π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

ステップ 5.8.2.6

$10$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.6.1

$2$ を $10 π$ で因数分解します。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

ステップ 5.8.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.6.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

ステップ 5.8.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.8.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.3

方程式の両辺に $\frac{12}{π}$ を掛けます。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.1.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.1.1.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.1.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.1.1.2.1

$π$ を $π x$ で因数分解します。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.1.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.1

$\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.1.1.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

ステップ 5.8.4.2.1.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

ステップ 5.8.4.2.1.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.1.2.1

$π$ を $5 π$ で因数分解します。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

ステップ 5.8.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

ステップ 5.8.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$x = 4 \cdot 5$

ステップ 5.8.4.2.1.3

$4$ に $5$ をかけます。

$x = 20$

ステップ 5.9

方程式 $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = 8, 20$

ステップ 6

$x = 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$8$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$4$ を $π (8)$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

ステップ 7.2.6

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

ステップ 7.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

ステップ 7.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

ステップ 7.2.6.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

ステップ 7.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

ステップ 7.2.8

$5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

ステップ 8

$x = 8$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 8$ は極大値です

ステップ 9

$x = 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$8$ から $2$ を引きます。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

ステップ 9.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

ステップ 9.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

ステップ 9.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 9.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

ステップ 9.2.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$f (8) = - 2 + 5$

ステップ 9.2.2

$- 2$ と $5$ をたし算します。

$f (8) = 3$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 10

$x = 20$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$20$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$4$ を $π (20)$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$5$ を $π$ の左に移動させます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.2

$\frac{5 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$\frac{5 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.5.2

$10 π$ から $π$ を引きます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

ステップ 11.2.6

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.6.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

ステップ 11.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

ステップ 11.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

ステップ 11.2.6.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

ステップ 11.2.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

ステップ 11.2.8

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

ステップ 11.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

ステップ 11.2.10

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

ステップ 11.3

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

ステップ 11.4

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

ステップ 11.4.2

$\frac{5 π^{2}}{144}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 π^{2}}{144}$

ステップ 12

$x = 20$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 20$ は極小値です

ステップ 13

$x = 20$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $20$ で置換えます。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$20$ から $2$ を引きます。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

ステップ 13.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

ステップ 13.2.1.2.2

$6$ を $18$ で因数分解します。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

ステップ 13.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

ステップ 13.2.1.2.4

式を書き換えます。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

ステップ 13.2.1.3

$\frac{π}{2}$ と $3$ をまとめます。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

ステップ 13.2.1.4

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

ステップ 13.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 13.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 13.2.1.7

$5 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

ステップ 13.2.1.7.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f (20) = - 2 - 5$

ステップ 13.2.2

$- 2$ から $5$ を引きます。

$f (20) = - 7$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $- 7$ です。

$y = - 7$

ステップ 14

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ の極値です。

$(8, 3)$ は極大値です

$(20, - 7)$ は極小値です

ステップ 15

代数 例

代数例