代数例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$

ステップ 1

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 2 x^{3} - x - 2 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{4} + 2 x^{3}) - x - 2 = 0$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} (x + 2) - (x + 2) = 0$

ステップ 2.1.2

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 2) (x^{3} - 1) = 0$

ステップ 2.1.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(x + 2) (x^{3} - 1^{3}) = 0$

ステップ 2.1.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

簡約します。

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ステップ 2.1.5.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 2) (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

代数 例

代数例