代数例

$f (x) = x^{3} - 12$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} - 12$ を方程式で書きます。

$y = x^{3} - 12$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{3} - 12$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{3} - 12 = x$ として書き換えます。

$y^{3} - 12 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$y^{3} = x + 12$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x + 12}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 12}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 12}$ が $f (x) = x^{3} - 12$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (x^{3} - 12)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (x^{3} - 12) = \sqrt[3]{(x^{3} - 12) + 12}$

ステップ 5.2.3

$- 12$ と $12$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{3} - 12) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

ステップ 5.2.4

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (x^{3} - 12) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.2.5

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (x^{3} - 12) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{x + 12})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = {(\sqrt[3]{x + 12})}^{3} - 12$

ステップ 5.3.3

${\sqrt[3]{x + 12}}^{3}$ を $x + 12$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x + 12}$ を ${(x + 12)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = {({(x + 12)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 12$

ステップ 5.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = {(x + 12)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 12$

ステップ 5.3.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = {(x + 12)}^{\frac{3}{3}} - 12$

ステップ 5.3.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = {(x + 12)}^{\frac{3}{3}} - 12$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = (x + 12) - 12$

ステップ 5.3.3.5

簡約します。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = x + 12 - 12$

ステップ 5.3.4

$x + 12 - 12$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$12$ から $12$ を引きます。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{x + 12}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 12}$ は $f (x) = x^{3} - 12$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 12}$

代数 例

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