代数例

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$

ステップ 1

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ を方程式で書きます。

$y = 25 x^{2} + 70 x + 49$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 25 y^{2} + 70 y + 49$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $25 y^{2} + 70 y + 49 = x$ として書き換えます。

$25 y^{2} + 70 y + 49 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$25 y^{2} + 70 y + 49 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 25$ 、 $b = 70$ 、および $c = 49 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (49 - x))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$70$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.4

$- 100$ に $49$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.6

$4900$ から $4900$ を引きます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.7

$0$ と $100 x$ をたし算します。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.8

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ を簡約します。

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$70$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.4

$- 100$ に $49$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.6

$4900$ から $4900$ を引きます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.7

$0$ と $100 x$ をたし算します。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.8

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ を簡約します。

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 7 + \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.6.5

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.6.6

$- 1$ を $\sqrt{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{x})}{5}$

ステップ 3.6.7

$- 1$ を $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{x})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{x})}{5}$

ステップ 3.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$70$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.4

$- 100$ に $49$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.6

$4900$ から $4900$ を引きます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.7

$0$ と $100 x$ をたし算します。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.8

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ を簡約します。

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 7 - \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.7.5

$- 1$ を $- 7 - \sqrt{x}$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.5.1

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.7.5.2

$- 1$ を $- \sqrt{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{x})}{5}$

ステップ 3.7.5.3

$- 1$ を $- 1 (7) - (\sqrt{x})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (7 + \sqrt{x})}{5}$

ステップ 3.7.5.4

$- 1 (7 + \sqrt{x})$ を $- (7 + \sqrt{x})$ に書き換えます。

$y = \frac{- (7 + \sqrt{x})}{5}$

ステップ 3.7.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ が $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の値域、 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \infty)$

ステップ 5.3

$- \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ の定義域が $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ の範囲が $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ は $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

ステップ 6

代数 例

代数例