代数例

$f (x) = - x^{5} + 9 x^{4} - 18 x^{3}$

ステップ 1

$- x^{5} + 9 x^{4} - 18 x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{5} + 9 x^{4} - 18 x^{3} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$- x^{3}$ を $- x^{5} + 9 x^{4} - 18 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$- x^{3}$ を $- x^{5}$ で因数分解します。

$- x^{3} x^{2} + 9 x^{4} - 18 x^{3} = 0$

ステップ 2.1.1.2

$- x^{3}$ を $9 x^{4}$ で因数分解します。

$- x^{3} x^{2} - x^{3} (- 9 x) - 18 x^{3} = 0$

ステップ 2.1.1.3

$- x^{3}$ を $- 18 x^{3}$ で因数分解します。

$- x^{3} x^{2} - x^{3} (- 9 x) - x^{3} \cdot 18 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$- x^{3}$ を $- x^{3} (x^{2}) - x^{3} (- 9 x)$ で因数分解します。

$- x^{3} (x^{2} - 9 x) - x^{3} \cdot 18 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$- x^{3}$ を $- x^{3} (x^{2} - 9 x) - x^{3} (18)$ で因数分解します。

$- x^{3} (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

ステップ 2.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 18$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $18$ で、その和が $- 9$ です。

$- 6, - 3$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- x^{3} ((x - 6) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- x^{3} (x - 6) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 2.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.6

最終解は $- x^{3} (x - 6) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = 0$ （ $3$ の重複度）

$x = 6$ （ $1$ の重複度）

$x = 3$ （ $1$ の重複度）

$x = 0$ （ $3$ の重複度）

$x = 6$ （ $1$ の重複度）

$x = 3$ （ $1$ の重複度）

ステップ 3

代数 例

代数例