代数例

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

${(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

積の法則を $- \frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.2.2

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.4

$x^{0}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$x^{0}$ を ${(- 1)}^{0} x^{3}$ で因数分解します。

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.4.3

式を書き換えます。

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.6

指数を足して $1$ に $1^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$1^{0}$ を移動させます。

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.6.2

$1^{0}$ に $1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

$1$ を $1$ 乗します。

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.6.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.7

$1^{1} x^{3}$ を簡約します。

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.8

簡約します。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- \frac{1}{x}) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.9

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.9.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.9.3

共通因数を約分します。

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.9.4

式を書き換えます。

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.11

簡約します。

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot x \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.12

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.12.1

積の法則を $- \frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.12.2

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.13

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.14

$\frac{1^{2}}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.15

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.16

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.16.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.16.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.16.3

共通因数を約分します。

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.16.4

式を書き換えます。

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.17

$3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.18

${(x)}^{0}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.19

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.20

${(- \frac{1}{x})}^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.21

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.21.1

積の法則を $- \frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

ステップ 4.21.2

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

ステップ 4.22

$- 1$ を $3$ 乗します。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

ステップ 4.23

1のすべての数の累乗は1です。

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$

代数 例

代数例