代数例

$y = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $- 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))]$ です。

$0 + 6 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{7} (x - 5))]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{2 π}{7} (x - 5)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 π}{7} (x - 5)$ とします。

$0 + 6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{7} (x - 5)])$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{7} (x - 5)])$

ステップ 1.2.3

$\frac{2 π}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 π}{7} (x - 5)$ の微分係数は $\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x - 5]$ です。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x - 5]))$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])))$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])))$

ステップ 1.2.6

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} (1 + 0)))$

ステップ 1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) (\frac{2 π}{7} \cdot 1))$

ステップ 1.2.8

$\frac{2 π}{7}$ に $1$ をかけます。

$0 + 6 (- \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)) \frac{2 π}{7})$

ステップ 1.2.9

$\frac{2 π}{7}$ と $\sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))$ をまとめます。

$0 + 6 (- \frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7})$

ステップ 1.2.10

$- 1$ に $6$ をかけます。

$0 - 6 \frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$

ステップ 1.2.11

$- 6$ と $\frac{2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 6 (2 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)))}{7}$

ステップ 1.2.12

$2$ に $- 6$ をかけます。

$0 + \frac{- 12 (π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5)))}{7}$

ステップ 1.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} (x - 5))}{7}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{2 π}{7} \cdot - 5)}{7}$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$\frac{2 π}{7}$ と $- 5$ をまとめます。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{2 π \cdot - 5}{7})}{7}$

ステップ 1.3.2.2

$- 5$ に $2$ をかけます。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x + \frac{- 10 π}{7})}{7}$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π}{7} x - \frac{10 π}{7})}{7}$

ステップ 1.3.2.4

$\frac{2 π}{7}$ と $x$ をまとめます。

$0 - \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$

ステップ 1.3.2.5

$0$ から $\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$ を引きます。

$- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- \frac{12 π}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7}$ の微分係数は $- \frac{12 π}{7} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})]$ です。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{12 π}{7} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ と $\frac{12 π}{7}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) (12 π)}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

ステップ 2.3.2

$12$ を $\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10 π}{7}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{7}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.3.4

$\frac{2 π}{7}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 π x}{7}$ の微分係数は $\frac{2 π}{7} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.3.6

$\frac{2 π}{7}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 π}{7}))$

ステップ 2.3.7

$- \frac{10 π}{7}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{10 π}{7}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot (\frac{2 π}{7} + 0)$

ステップ 2.3.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$\frac{2 π}{7}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7} \cdot \frac{2 π}{7}$

ステップ 2.3.8.2

$\frac{2 π}{7}$ に $\frac{12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π}{7}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{2 π (12 \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7 \cdot 7}$

ステップ 2.3.8.3

$12$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 π (\cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) π)}{7 \cdot 7}$

ステップ 2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{24 (π π) \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

ステップ 2.5

$π$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{24 (π π) \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{24 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7 \cdot 7}$

ステップ 2.8

$7$ に $7$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{7} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$ の各項を $12 π$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$ の各項を $12 π$ で割ります。

$\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{12 π} = \frac{0}{12 π}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{12 π} = \frac{0}{12 π}$

ステップ 5.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{π} = \frac{0}{12 π}$

ステップ 5.1.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})}{π} = \frac{0}{12 π}$

ステップ 5.1.2.2.2

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{0}{12 π}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$0$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$12$ を $0$ で因数分解します。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 (0)}{12 π}$

ステップ 5.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.2.1

$12$ を $12 π$ で因数分解します。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 (0)}{12 (π)}$

ステップ 5.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{12 \cdot 0}{12 π}$

ステップ 5.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = \frac{0}{π}$

ステップ 5.1.3.2

$0$ を $π$ で割ります。

$\sin (\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7}) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = \arcsin (0)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = 0$

ステップ 5.4

方程式の両辺に $\frac{10 π}{7}$ を足します。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{10 π}{7}$

ステップ 5.5

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$2 π x = 10 π$

ステップ 5.6

$2 π x = 10 π$ の各項を $2 π$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$2 π x = 10 π$ の各項を $2 π$ で割ります。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{10 π}{2 π}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{10 π}{2 π}$

ステップ 5.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π x}{π} = \frac{10 π}{2 π}$

ステップ 5.6.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{10 π}{2 π}$

ステップ 5.6.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{10 π}{2 π}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.1

$2$ を $10 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (5 π)}{2 π}$

ステップ 5.6.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (5 π)}{2 (π)}$

ステップ 5.6.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (5 π)}{2 π}$

ステップ 5.6.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{5 π}{π}$

ステップ 5.6.3.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{5 π}{π}$

ステップ 5.6.3.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$x = 5$

ステップ 5.7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = π - 0$

ステップ 5.8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$π$ から $0$ を引きます。

$\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = π$

ステップ 5.8.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1

方程式の両辺に $\frac{10 π}{7}$ を足します。

$\frac{2 π x}{7} = π + \frac{10 π}{7}$

ステップ 5.8.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{2 π x}{7} = π \cdot \frac{7}{7} + \frac{10 π}{7}$

ステップ 5.8.2.3

$π$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{π \cdot 7}{7} + \frac{10 π}{7}$

ステップ 5.8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{π \cdot 7 + 10 π}{7}$

ステップ 5.8.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.5.1

$7$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{7 \cdot π + 10 π}{7}$

ステップ 5.8.2.5.2

$7 π$ と $10 π$ をたし算します。

$\frac{2 π x}{7} = \frac{17 π}{7}$

ステップ 5.8.3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$2 π x = 17 π$

ステップ 5.8.4

$2 π x = 17 π$ の各項を $2 π$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.1

$2 π x = 17 π$ の各項を $2 π$ で割ります。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{17 π}{2 π}$

ステップ 5.8.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{17 π}{2 π}$

ステップ 5.8.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{π x}{π} = \frac{17 π}{2 π}$

ステップ 5.8.4.2.2

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{17 π}{2 π}$

ステップ 5.8.4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{17 π}{2 π}$

ステップ 5.8.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{17 π}{2 π}$

ステップ 5.8.4.3.1.2

式を書き換えます。

$x = \frac{17}{2}$

ステップ 5.9

方程式 $\frac{2 π x}{7} - \frac{10 π}{7} = 0$ に対する解です。

$x = 5, \frac{17}{2}$

ステップ 6

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π (5)}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$5$ に $2$ をかけます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{10 π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{10 π - 10 π}{7})}{49}$

ステップ 7.2.2

$10 π$ から $10 π$ を引きます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{0}{7})}{49}$

ステップ 7.2.3

$0$ を $7$ で割ります。

$- \frac{24 π^{2} \cos (0)}{49}$

ステップ 7.2.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{24 π^{2} \cdot 1}{49}$

ステップ 7.2.5

$24$ に $1$ をかけます。

$- \frac{24 π^{2}}{49}$

ステップ 8

$x = 5$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5$ は極大値です

ステップ 9

$x = 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot ((5) - 5))$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot 0)$

ステップ 9.2.1.2

$\frac{2 π}{7}$ に $0$ をかけます。

$f (5) = - 1 + 6 \cos (0)$

ステップ 9.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (5) = - 1 + 6 \cdot 1$

ステップ 9.2.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$f (5) = - 1 + 6$

ステップ 9.2.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$f (5) = 5$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$y = 5$

ステップ 10

$x = \frac{17}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{17}{2})}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$\frac{17}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 \cdot 2}{2} π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.1.2

$\frac{17 \cdot 2}{2}$ と $π$ をまとめます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 \cdot 2 π}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.2

$17$ に $2$ をかけます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{34 π}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 11.3.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{34 π}{2}$ を約分します。

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ステップ 11.3.1.1

$2$ を $34 π$ で因数分解します。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.3.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2 (1)}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.3.1.3

共通因数を約分します。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (17 π)}{2 \cdot 1}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.3.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{\frac{17 π}{1}}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.3.2

$17 π$ を $1$ で割ります。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{17 π}{7} - \frac{10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.4

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.1

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{17 π - 10 π}{7})}{49}$

ステップ 11.4.2

$17 π$ から $10 π$ を引きます。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{7 π}{7})}{49}$

ステップ 11.4.3

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.4.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{24 π^{2} \cos (\frac{7 π}{7})}{49}$

ステップ 11.4.3.2

$π$ を $1$ で割ります。

$- \frac{24 π^{2} \cos (π)}{49}$

ステップ 11.4.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{24 π^{2} (- \cos (0))}{49}$

ステップ 11.4.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{24 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{49}$

ステップ 11.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{24 π^{2} \cdot - 1}{49}$

ステップ 11.4.7

$- 1$ に $24$ をかけます。

$- \frac{- 24 π^{2}}{49}$

ステップ 11.5

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{24 π^{2}}{49}$

ステップ 11.6

$- - \frac{24 π^{2}}{49}$ を掛けます。

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ステップ 11.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{24 π^{2}}{49}$

ステップ 11.6.2

$\frac{24 π^{2}}{49}$ に $1$ をかけます。

$\frac{24 π^{2}}{49}$

ステップ 12

$x = \frac{17}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{17}{2}$ は極小値です

ステップ 13

$x = \frac{17}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $\frac{17}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot ((\frac{17}{2}) - 5))$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.2.1.1

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (\frac{17}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}))$

ステップ 13.2.1.2

$- 5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}))$

ステップ 13.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{17 - 5 \cdot 2}{2})$

ステップ 13.2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.1.4.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{17 - 10}{2})$

ステップ 13.2.1.4.2

$17$ から $10$ を引きます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{7}{2})$

ステップ 13.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1.5.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 (π)}{7} \cdot \frac{7}{2})$

ステップ 13.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot \frac{7}{2})$

ステップ 13.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{7} \cdot 7)$

ステップ 13.2.1.6

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (\frac{π}{7} \cdot 7)$

ステップ 13.2.1.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cos (π)$

ステップ 13.2.1.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- \cos (0))$

ステップ 13.2.1.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 13.2.1.9

$6 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 13.2.1.9.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 + 6 \cdot - 1$

ステップ 13.2.1.9.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{17}{2}) = - 1 - 6$

ステップ 13.2.2

$- 1$ から $6$ を引きます。

$f (\frac{17}{2}) = - 7$

ステップ 13.2.3

最終的な答えは $- 7$ です。

$y = - 7$

ステップ 14

$f (x) = - 1 + 6 \cos (\frac{2 π}{7} \cdot (x - 5))$ の極値です。

$(5, 5)$ は極大値です

$(\frac{17}{2}, - 7)$ は極小値です

ステップ 15

代数 例

代数例