代数例

$y = \ln (x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \ln (y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\ln (y) = x$ として書き換えます。

$\ln (y) = x$

ステップ 2.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

ステップ 2.3

対数の定義を利用して $\ln (y) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x} = y$

ステップ 2.4

方程式を $y = e^{x}$ として書き換えます。

$y = e^{x}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ が $f (x) = \ln (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\ln (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

ステップ 4.2.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (e^{x})$ の値を求めます。

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

ステップ 4.3.3

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

ステップ 4.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

ステップ 4.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f (e^{x}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = e^{x}$ は $f (x) = \ln (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

代数 例

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