代数例

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2 \sqrt{10}$

$b = 9$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2 \sqrt{10})}^{2} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

積の法則を $2 \sqrt{10}$ に当てはめます。

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 \cdot 10^{1} + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 \cdot 10 + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$4$ に $10$ をかけます。

$\sqrt{40 + {(9)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{40 + 81}$

ステップ 4.3.3.3

$40$ と $81$ をたし算します。

$\sqrt{121}$

ステップ 4.3.3.4

$121$ を $11^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{11^{2}}$

ステップ 4.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$11$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 5.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(11, 0)$

ステップ 5.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 5.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 11, 0)$

ステップ 5.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(11, 0), (- 11, 0)$

ステップ 6

代数 例

代数例