代数例

$y = 5 x^{2} + 10$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 5 y^{2} + 10$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $5 y^{2} + 10 = x$ として書き換えます。

$5 y^{2} + 10 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$5 y^{2} = x - 10$

ステップ 2.3

$5 y^{2} = x - 10$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$5 y^{2} = x - 10$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

ステップ 2.3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{5} + \frac{- 10}{5}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$- 10$ を $5$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{5} - 2$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}}$

ステップ 2.5.2

$- 2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}}$

ステップ 2.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 2 \cdot 5}{5}}$

ステップ 2.5.4

$- 2$ に $5$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 10}{5}}$

ステップ 2.5.5

$\sqrt{\frac{x - 10}{5}}$ を $\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$

ステップ 2.5.6

$\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 2.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.5.7.1

$\frac{\sqrt{x - 10}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 2.5.7.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 2.5.7.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 2.5.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.5.7.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 2.5.7.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 10} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.5.8

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 10) \cdot 5}}{5}$

ステップ 2.5.9

$\pm \frac{\sqrt{(x - 10) \cdot 5}}{5}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ が $f (x) = 5 x^{2} + 10$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 5 x^{2} + 10$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ の値域を求めます。

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ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[10, \infty)$

ステップ 4.3

$\frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{5 (x - 10)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$5 (x - 10) \geq 0$

ステップ 4.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.2.1

$5 (x - 10) \geq 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$5 (x - 10) \geq 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 (x - 10)}{5} \geq \frac{0}{5}$

ステップ 4.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 (x - 10)}{5} \geq \frac{0}{5}$

ステップ 4.3.2.1.2.1.2

$x - 10$ を $1$ で割ります。

$x - 10 \geq \frac{0}{5}$

ステップ 4.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$x - 10 \geq 0$

ステップ 4.3.2.2

不等式の両辺に $10$ を足します。

$x \geq 10$

ステップ 4.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[10, \infty)$

ステップ 4.4

$f (x) = 5 x^{2} + 10$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ の定義域が $f (x) = 5 x^{2} + 10$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ の範囲が $f (x) = 5 x^{2} + 10$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$ は $f (x) = 5 x^{2} + 10$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 10)}}{5}$

ステップ 5

代数 例

代数例