代数例

$y = 2 x^{2} + 11 x + 5$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$2 x^{2} + 11 x + 5$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 11$

$c = 5$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{11}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{11}{4}$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 5 - \frac{11^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$11$ を $2$ 乗します。

$e = 5 - \frac{121}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 5 - \frac{121}{8}$

ステップ 1.1.4.2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$e = 5 \cdot \frac{8}{8} - \frac{121}{8}$

ステップ 1.1.4.2.3

$5$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$e = \frac{5 \cdot 8}{8} - \frac{121}{8}$

ステップ 1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{5 \cdot 8 - 121}{8}$

ステップ 1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.5.1

$5$ に $8$ をかけます。

$e = \frac{40 - 121}{8}$

ステップ 1.1.4.2.5.2

$40$ から $121$ を引きます。

$e = \frac{- 81}{8}$

ステップ 1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{81}{8}$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x + \frac{11}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$ に代入します。

$2 {(x + \frac{11}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$

ステップ 1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 2 {(x + \frac{11}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 2$

$h = - \frac{11}{4}$

$k = - \frac{81}{8}$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{11}{4}, - \frac{81}{8})$

ステップ 4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{11}{4}, - 10)$

ステップ 6

代数 例

代数例