代数例

$y = 4^{2 x + 9}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 4^{2 y + 9}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $4^{2 y + 9} = x$ として書き換えます。

$4^{2 y + 9} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

$2 y + 9$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{2 y + 9})$ を展開します。

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

ステップ 2.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

ステップ 2.6

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

方程式の両辺から $9 \ln (4)$ を引きます。

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $\ln (x)$ を足します。

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

ステップ 2.7

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ の各項を $2 \ln (4)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ の各項を $2 \ln (4)$ で割ります。

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.2.2

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1.1

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 2.7.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ が $f (x) = 4^{2 x + 9}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2 x + 9$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{2 x + 9})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

ステップ 4.2.3.2

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

ステップ 4.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

ステップ 4.2.4

項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

ステップ 4.2.4.2

$- 9 + 2 x + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ の値を求めます。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (4)$ を簡約します。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

ステップ 4.3.3.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

ステップ 4.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

ステップ 4.3.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$- \frac{9}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

ステップ 4.3.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

ステップ 4.3.3.3.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

ステップ 4.3.3.4

$2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.4.1

$2$ と $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ をまとめます。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

ステップ 4.3.3.4.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

ステップ 4.3.4

$- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

ステップ 4.3.4.2

$0$ と $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ をたし算します。

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ は $f (x) = 4^{2 x + 9}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

代数 例

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