代数例

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

ステップ 1

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ を方程式で書きます。

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ として書き換えます。

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

ステップ 3.2

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ の各項を $50000$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ の各項を $50000$ で割ります。

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$50000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

ステップ 3.2.2.1.2

${0.8}^{y}$ を $1$ で割ります。

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

ステップ 3.4

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({0.8}^{y})$ を展開します。

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

ステップ 3.5

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ の各項を $\ln (0.8)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ の各項を $\ln (0.8)$ で割ります。

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$\ln (0.8)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ が $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

ステップ 5.2.3

$50000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

ステップ 5.2.3.2

${(0.8)}^{x}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

ステップ 5.2.4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(0.8)}^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

ステップ 5.2.5

$\ln (0.8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

ステップ 5.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

ステップ 5.3.3

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

ステップ 5.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

ステップ 5.3.5

$50000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ は $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

代数 例

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