代数例

$x^{2} \leq 2 x + 1$

ステップ 1

不等式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x \leq 1$

ステップ 2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 1 \leq 0$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + \sqrt{2}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 8.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - \sqrt{2}$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < 1 - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < 1 - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} \leq 2 (- 3) + 1$

ステップ 11.1.3

左辺 $9$ は右辺 $- 5$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} \leq 2 (0) + 1$

ステップ 11.2.3

左辺 $0$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $x > 1 + \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > 1 + \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

${(5)}^{2} \leq 2 (5) + 1$

ステップ 11.3.3

左辺 $25$ は右辺 $11$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1 - \sqrt{2}$ 偽

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ 真

$x > 1 + \sqrt{2}$ 偽

$x < 1 - \sqrt{2}$ 偽

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ 真

$x > 1 + \sqrt{2}$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$

ステップ 14

代数 例

代数例