代数例

$y = e^{x + 3} - 4$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = e^{y + 3} - 4$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $e^{y + 3} - 4 = x$ として書き換えます。

$e^{y + 3} - 4 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$e^{y + 3} = x + 4$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y + 3}) = \ln (x + 4)$

ステップ 2.4

左辺を展開します。

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ステップ 2.4.1

$y + 3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y + 3})$ を展開します。

$(y + 3) \ln (e) = \ln (x + 4)$

ステップ 2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y + 3) \cdot 1 = \ln (x + 4)$

ステップ 2.4.3

$y + 3$ に $1$ をかけます。

$y + 3 = \ln (x + 4)$

ステップ 2.5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = \ln (x + 4) - 3$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ が $f (x) = e^{x + 3} - 4$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{x + 3} - 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$

ステップ 4.2.3

$\ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.3.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3} + 0) - 3$

ステップ 4.2.3.2

$e^{x + 3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3}) - 3$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $x + 3$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \ln (e) - 3$

ステップ 4.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \cdot 1 - 3$

ステップ 4.2.4.3

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 3 - 3$

ステップ 4.2.5

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.5.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 0$

ステップ 4.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (x + 4) - 3)$ の値を求めます。

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$

ステップ 4.3.3

$e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.3.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4) + 0} - 4$

ステップ 4.3.3.2

$\ln (x + 4)$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4)} - 4$

ステップ 4.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 4 - 4$

ステップ 4.3.5

$x + 4 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.5.1

$4$ から $4$ を引きます。

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (x + 4) - 3) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ は $f (x) = e^{x + 3} - 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

代数 例

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