代数例

$y = \frac{1}{4} x^{3} - 2$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{4} y^{3} - 2$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{4}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{y^{3}}{4} - 2 = x$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\frac{y^{3}}{4} = x + 2$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

ステップ 2.5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

ステップ 2.5.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 4 (x + 2)$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$4 (x + 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 4 x + 4 \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y^{3} = 4 x + 8$

ステップ 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x + 8}$

ステップ 2.7

$4$ を $4 x + 8$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{4 (x) + 8}$

ステップ 2.7.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{4 x + 4 \cdot 2}$

ステップ 2.7.3

$4$ を $4 x + 4 \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ が $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 ((\frac{1}{4} x^{3} - 2) + 2)}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} - 2 + 2)}$

ステップ 4.2.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + 0)}$

ステップ 4.2.4.2

$\frac{x^{3}}{4}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4})}$

ステップ 4.2.5

$4$ と $\frac{x^{3}}{4}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

ステップ 4.2.6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.6.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 x^{3}}{4}$ を約分します。

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ステップ 4.2.6.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

ステップ 4.2.6.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

ステップ 4.2.6.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 4.2.7

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{4 (x + 2)})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 (x + 2)})}^{3} - 2$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

${\sqrt[3]{4 (x + 2)}}^{3}$ を $4 (x + 2)$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4 (x + 2)}$ を ${(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 2$

ステップ 4.3.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2$

ステップ 4.3.3.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

ステップ 4.3.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

ステップ 4.3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

ステップ 4.3.3.1.5

簡約します。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

ステップ 4.3.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

ステップ 4.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 2 - 2$

ステップ 4.3.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ は $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

代数 例

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