代数例

$y = 2 x^{2} + 16 x + 18$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$2 x^{2} + 16 x + 18$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 16$

$c = 18$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{8}{2}$

ステップ 1.1.3.2.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 18 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$e = 18 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 18 - \frac{256}{8}$

ステップ 1.1.4.2.1.3

$256$ を $8$ で割ります。

$e = 18 - 1 \cdot 32$

ステップ 1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $32$ をかけます。

$e = 18 - 32$

ステップ 1.1.4.2.2

$18$ から $32$ を引きます。

$e = - 14$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x + 4)}^{2} - 14$ に代入します。

$2 {(x + 4)}^{2} - 14$

ステップ 1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 2 {(x + 4)}^{2} - 14$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 2$

$h = - 4$

$k = - 14$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 4, - 14)$

ステップ 4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{8}$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 4, - \frac{111}{8})$

ステップ 6

代数 例

代数例