代数例

$y = - x^{2} + 4 x + 8$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$- x^{2} + 4 x + 8$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 8$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 2$

ステップ 1.1.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 2$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 8 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.1.2

$\frac{4}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e = 8 - (- 1 \cdot 4)$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$- (- 1 \cdot 4)$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 8 - - 4$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$e = 8 + 4$

ステップ 1.1.4.2.2

$8$ と $4$ をたし算します。

$e = 12$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- {(x - 2)}^{2} + 12$ に代入します。

$- {(x - 2)}^{2} + 12$

ステップ 1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - {(x - 2)}^{2} + 12$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 12$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(2, 12)$

ステップ 4

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 4.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.3

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 5.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, \frac{47}{4})$

ステップ 6

代数 例

代数例