代数例

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $20$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 4.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

ステップ 4.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{4 + 5}$

ステップ 4.3.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$4$ と $5$ をたし算します。

$\sqrt{9}$

ステップ 4.3.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{2}}$

ステップ 4.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$3$

ステップ 5

焦点を求めます。

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ステップ 5.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 5.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 3)$

ステップ 5.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 5.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 3)$

ステップ 5.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(0, 3), (0, - 3)$

ステップ 6

代数 例

代数例