代数例

$y = 2^{3 x - 1}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 2^{3 y - 1}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $2^{3 y - 1} = x$ として書き換えます。

$2^{3 y - 1} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

$3 y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{3 y - 1})$ を展開します。

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$(3 y - 1) \ln (2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

分配則を当てはめます。

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

ステップ 2.4.1.2

$- 1 \ln (2)$ を $- \ln (2)$ に書き換えます。

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

ステップ 2.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

ステップ 2.6

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

方程式の両辺に $\ln (2)$ を足します。

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $\ln (x)$ を足します。

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

ステップ 2.7

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ の各項を $3 \ln (2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ の各項を $3 \ln (2)$ で割ります。

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 2.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 2.7.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 2.7.2.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 2.7.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 2.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 2.7.3.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ が $f (x) = 2^{3 x - 1}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$3 x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{3 x - 1})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

ステップ 4.2.3.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

ステップ 4.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

ステップ 4.2.4

項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

ステップ 4.2.4.2

$1 + 3 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

ステップ 4.2.4.2.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

ステップ 4.2.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ の値を求めます。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (2)$ を簡約します。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

ステップ 4.3.3.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

ステップ 4.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

ステップ 4.3.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

ステップ 4.3.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

ステップ 4.3.3.4

$3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.4.1

$3$ と $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

ステップ 4.3.3.4.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x)$ を簡約します。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

ステップ 4.3.4

$1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

ステップ 4.3.4.2

$0$ と $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ をたし算します。

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ は $f (x) = 2^{3 x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

代数 例

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