代数例

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を

1

$1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が

1

$1$ に等しいことが必要です。

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数

h

$h$ は原点からのx補正値を、

k

$k$ は原点

a

$a$ からのy補正値を表します。

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は

(h, k)

$(h, k)$ の形に従います。

h

$h$ と

k

$k$ の値に代入します。

(0, 0)

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離

c

$c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{4 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

\sqrt{4 + 1}

$\sqrt{4 + 1}$

ステップ 5.3.3

4

$4$ と

1

$1$ をたし算します。

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、

a

$a$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(2, 0)

$(2, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、

h

$h$ から

a

$a$ を引くことで求められます。

(h - a, k)

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、

c

$c$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + c, k)

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(\sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、

h

$h$ から

c

$c$ を引くことで求められます。

(h - c, k)

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(- \sqrt{5}, 0)

$(- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

ステップ 8.3.3

4

$4$ と

1

$1$ をたし算します。

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

b

$b$ と

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3.2

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{5}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{5}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を

$5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{5}$ を

$5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

ステップ 11

$\frac{1}{2} x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{2} x$ と

$0$ をたし算します。

$y = \frac{1}{2} x$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と

$x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2}$

ステップ 12

$- \frac{1}{2} x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- \frac{1}{2} x$ と

$0$ をたし算します。

$y = - \frac{1}{2} x$

ステップ 12.2

$x$ と

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{2}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心：

$(0, 0)$

頂点：

$(2, 0), (- 2, 0)$

焦点：

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

偏心：

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

焦点のパラメータ：

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

漸近線：

$y = \frac{x}{2}$ 、

$y = - \frac{x}{2}$

ステップ 15

代数 例

代数例