代数例

f (x) = x^{2} - 4 x - 1

$f (x) = x^{2} - 4 x - 1$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

x^{2} - 4 x - 1

$x^{2} - 4 x - 1$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = - 1

$c = - 1$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2

- 4

$- 4$ と

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

2

$2$ を

- 4

$- 4$ で因数分解します。

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.2.1

2

$2$ を

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ で因数分解します。

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.4

- 2

$- 2$ を

1

$1$ で割ります。

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

ステップ 1.1.1.4

公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

e

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

c

$c$ 、

b

$b$ 、および

a

$a$ の値を公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ と

4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.1

- 4

$- 4$ を

- 1 (4)

$- 1 (4)$ に書き換えます。

e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.2

積の法則を

- 1 (4)

$- 1 (4)$ に当てはめます。

e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.3

- 1

$- 1$ を

2

$2$ 乗します。

e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.4

4^{2}

$4^{2}$ に

1

$1$ をかけます。

e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.5

4

$4$ を

4^{2}

$4^{2}$ で因数分解します。

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.6.1

4

$4$ を

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ で因数分解します。

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

e = - 1 - \frac{4}{1}

$e = - 1 - \frac{4}{1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.1.6.4

4

$4$ を

1

$1$ で割ります。

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

- 1

$- 1$ に

4

$4$ をかけます。

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

ステップ 1.1.1.4.2.2

- 1

$- 1$ から

4

$4$ を引きます。

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

ステップ 1.1.1.5

a

$a$ 、

d

$d$ 、および

e

$e$ の値を頂点形

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$ に代入します。

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

ステップ 1.1.2

y

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

ステップ 1.2

頂点形、

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

a

$a$ 、

h

$h$ 、

k

$k$ の値を求めます。

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 5

$k = - 5$

ステップ 1.3

a

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点

(h, k)

$(h, k)$ を求めます。

(2, - 5)

$(2, - 5)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離

p

$p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

a

$a$ の値を公式に代入します。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

1

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

p

$p$ をy座標

k

$k$ に加えて求められます。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

h

$h$ と

p

$p$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

x = 2

$x = 2$

ステップ 1.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標

k

$k$ から

p

$p$ を引いて求められる水平線です。

y = k - p

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

p

$p$ と

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

(2, - 5)

$(2, - 5)$

焦点：

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

対称軸：

x = 2

$x = 2$

準線：

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

方向：上に開

頂点：

(2, - 5)

$(2, - 5)$

焦点：

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

対称軸：

x = 2

$x = 2$

準線：

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

ステップ 2

x

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する

y

$y$ 値を求めます。

x

$x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数

x

$x$ を

1

$1$ で置換えます。

f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1$

ステップ 2.2.1.2

- 4

$- 4$ に

1

$1$ をかけます。

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

ステップ 2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

1

$1$ から

4

$4$ を引きます。

f (1) = - 3 - 1

$f (1) = - 3 - 1$

ステップ 2.2.2.2

- 3

$- 3$ から

1

$1$ を引きます。

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは

- 4

$- 4$ です。

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

ステップ 2.3

x = 1

$x = 1$ における

y

$y$ 値は

- 4

$- 4$ です。

y = - 4

$y = - 4$

ステップ 2.4

式の変数

x

$x$ を

0

$0$ で置換えます。

f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

0

$0$ を正数乗し、

0

$0$ を得ます。

f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1$

ステップ 2.5.1.2

- 4

$- 4$ に

0

$0$ をかけます。

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

0

$0$ と

0

$0$ をたし算します。

f (0) = 0 - 1

$f (0) = 0 - 1$

ステップ 2.5.2.2

0

$0$ から

1

$1$ を引きます。

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは

- 1

$- 1$ です。

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

ステップ 2.6

x = 0

$x = 0$ における

$y$ 値は

$- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 2.7

式の変数

$x$ を

$3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$3$ を

$2$ 乗します。

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1$

ステップ 2.8.1.2

$- 4$ に

$3$ をかけます。

$f (3) = 9 - 12 - 1$

ステップ 2.8.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$9$ から

$12$ を引きます。

$f (3) = - 3 - 1$

ステップ 2.8.2.2

$- 3$ から

$1$ を引きます。

$f (3) = - 4$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは

$- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.9

$x = 3$ における

$y$ 値は

$- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.10

式の変数

$x$ を

$4$ で置換えます。

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$4$ を

$2$ 乗します。

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1$

ステップ 2.11.1.2

$- 4$ に

$4$ をかけます。

$f (4) = 16 - 16 - 1$

ステップ 2.11.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$16$ から

$16$ を引きます。

$f (4) = 0 - 1$

ステップ 2.11.2.2

$0$ から

$1$ を引きます。

$f (4) = - 1$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは

$- 1$ です。

$- 1$

ステップ 2.12

$x = 4$ における

$y$ 値は

$- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

$(2, - 5)$

焦点：

$(2, - \frac{19}{4})$

対称軸：

$x = 2$

準線：

$y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例