代数例

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$

ステップ 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ を方程式で書きます。

$y = - 2 x^{3} + 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - 2 y^{3} + 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を

$- 2 y^{3} + 1 = x$ として書き換えます。

$- 2 y^{3} + 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$- 2 y^{3} = x - 1$

ステップ 3.3

$- 2 y^{3} = x - 1$ の各項を

$- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2 y^{3} = x - 1$ の各項を

$- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{3}$ を

$1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.3.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 3.5

$\sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$ を

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$

ステップ 3.5.3

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ に

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ に

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.2

$\sqrt[3]{2}$ を

$1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.4.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.5.4.4

$1$ と

$2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

ステップ 3.5.4.5

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt[3]{2}$ を

$2^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.5.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.5.4.5.3

$\frac{1}{3}$ と

$3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.4.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.5.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.4.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

ステップ 3.5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ を

$\sqrt[3]{2^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

ステップ 3.5.5.2

$2$ を

$2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{4}}{2}$

ステップ 3.5.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$

ステップ 3.5.6.2

$\frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

ステップ 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ が

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と

$f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に

$f$ の値を代入し、

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3} + 1) + 1)}}{2}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3}) - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

ステップ 5.2.3.2

$- 2$ に

$- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 + 1)}}{2}$

ステップ 5.2.3.4

$- 1$ と

$1$ をたし算します。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

ステップ 5.2.3.5

$2 x^{3}$ と

$0$ をたし算します。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

ステップ 5.2.3.6

$4$ に

$2$ をかけます。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.7

$8 x^{3}$ を

${(2 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

ステップ 5.2.3.8

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に

$f^{- 1}$ の値を代入し、

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

積の法則を

$\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

${\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}$ を

$4 (- x + 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt[3]{4 (- x + 1)}$ を

${(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{({(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と

$3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 1$ に

$4$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.4

$4$ に

$1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.5

$4$ を

$- 4 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.1

$4$ を

$- 4 x$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.5.2

$4$ を

$4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 (1)}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.5.3

$4$ を

$4 (- x) + 4 (1)$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

ステップ 5.3.3.3

$2$ を

$3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{8} + 1$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

$2$ を

$- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{4 (- x + 1)}{8}) + 1$

ステップ 5.3.3.4.2

$2$ を

$8$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

ステップ 5.3.3.4.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

ステップ 5.3.3.4.4

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

ステップ 5.3.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

ステップ 5.3.3.5.2

$- x + 1$ を

$1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x + 1) + 1$

ステップ 5.3.3.6

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 5.3.3.7

$- 1 (- x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.7.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 1 x - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 5.3.3.7.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 \cdot 1 + 1$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 + 1$

ステップ 5.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と

$1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と

$0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と

$f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ は

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

代数 例

代数例