代数例

y = 9 - x^{2}

$y = 9 - x^{2}$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

9

$9$ と

$- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 9$

ステップ 1.1.2

$- x^{2} + 9$ の平方完成。

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ステップ 1.1.2.1

式

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

$a$ 、

$b$ 、

$c$ の値を求めます。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 9$

ステップ 1.1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.2.3

公式

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

$d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$a$ と

$b$ の値を公式

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

$0$ と

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1.1

$2$ を

$0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2.1.2

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 0$

ステップ 1.1.2.3.2.2

$- 1 \cdot 0$ を

$- 0$ に書き換えます。

$d = - 0$

ステップ 1.1.2.3.2.3

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 1.1.2.4

公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

$e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$c$ 、

$b$ 、および

$a$ の値を公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 9 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$e = 9 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.2

$4$ に

$- 1$ をかけます。

$e = 9 - \frac{0}{- 4}$

ステップ 1.1.2.4.2.1.3

$0$ を

$- 4$ で割ります。

$e = 9 - 0$

ステップ 1.1.2.4.2.1.4

$- 1$ に

$0$ をかけます。

$e = 9 + 0$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$9$ と

$0$ をたし算します。

$e = 9$

ステップ 1.1.2.5

$a$ 、

$d$ 、および

$e$ の値を頂点形

$- {(x + 0)}^{2} + 9$ に代入します。

$- {(x + 0)}^{2} + 9$

ステップ 1.1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - {(x + 0)}^{2} + 9$

ステップ 1.2

頂点形、

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

$a$ 、

$h$ 、

$k$ の値を求めます。

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 9$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点

$(h, k)$ を求めます。

$(0, 9)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離

$p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ と

$- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

$1$ を

$- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

$p$ をy座標

$k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と

$p$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, \frac{35}{4})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標

$k$ から

$p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{37}{4}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点：

$(0, 9)$

焦点：

$(0, \frac{35}{4})$

対称軸：

$x = 0$

準線：

$y = \frac{37}{4}$

方向：下に開

頂点：

$(0, 9)$

焦点：

$(0, \frac{35}{4})$

対称軸：

$x = 0$

準線：

$y = \frac{37}{4}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する

$y$ 値を求めます。

$x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数

$x$ を

$- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 9$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

指数を足して

$- 1$ に

${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- 1$ に

${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1.1.1

$- 1$ を

$1$ 乗します。

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 9$

ステップ 2.2.1.1.1.2

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 9$

ステップ 2.2.1.1.2

$1$ と

$2$ をたし算します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 9$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を

$3$ 乗します。

$f (- 1) = - 1 + 9$

ステップ 2.2.2

$- 1$ と

$9$ をたし算します。

$f (- 1) = 8$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは

$8$ です。

$8$

ステップ 2.3

$x = - 1$ における

$y$ 値は

$8$ です。

$y = 8$

ステップ 2.4

式の変数

$x$ を

$- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} + 9$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 2$ を

$2$ 乗します。

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 + 9$

ステップ 2.5.1.2

$- 1$ に

$4$ をかけます。

$f (- 2) = - 4 + 9$

ステップ 2.5.2

$- 4$ と

$9$ をたし算します。

$f (- 2) = 5$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは

$5$ です。

$5$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における

$y$ 値は

$5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.7

式の変数

$x$ を

$1$ で置換えます。

$f (1) = - {(1)}^{2} + 9$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 9$

ステップ 2.8.1.2

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$f (1) = - 1 + 9$

ステップ 2.8.2

$- 1$ と

$9$ をたし算します。

$f (1) = 8$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは

$8$ です。

$8$

ステップ 2.9

$x = 1$ における

$y$ 値は

$8$ です。

$y = 8$

ステップ 2.10

式の変数

$x$ を

$2$ で置換えます。

$f (2) = - {(2)}^{2} + 9$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$2$ を

$2$ 乗します。

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 9$

ステップ 2.11.1.2

$- 1$ に

$4$ をかけます。

$f (2) = - 4 + 9$

ステップ 2.11.2

$- 4$ と

$9$ をたし算します。

$f (2) = 5$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは

$5$ です。

$5$

ステップ 2.12

$x = 2$ における

$y$ 値は

$5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & 8 \\ 0 & 9 \\ 1 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点：

$(0, 9)$

焦点：

$(0, \frac{35}{4})$

対称軸：

$x = 0$

準線：

$y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & 8 \\ 0 & 9 \\ 1 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例