代数例

f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

2 x^{2} - 3 x + 1

$2 x^{2} - 3 x + 1$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = 2

$a = 2$

b = - 3

$b = - 3$

c = 1

$c = 1$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

d = \frac{- 3}{4}

$d = \frac{- 3}{4}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

ステップ 1.1.1.4

公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

e

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

c

$c$ 、

b

$b$ 、および

a

$a$ の値を公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

- 3

$- 3$ を

2

$2$ 乗します。

e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 2}

$e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

e = 1 - \frac{9}{8}

$e = 1 - \frac{9}{8}$

e = 1 - \frac{9}{8}

$e = 1 - \frac{9}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

e = \frac{8}{8} - \frac{9}{8}

$e = \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

e = \frac{8 - 9}{8}

$e = \frac{8 - 9}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

8

$8$ から

9

$9$ を引きます。

e = \frac{- 1}{8}

$e = \frac{- 1}{8}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分数の前に負数を移動させます。

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

ステップ 1.1.1.5

a

$a$ 、

d

$d$ 、および

e

$e$ の値を頂点形

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ に代入します。

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.1.2

y

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

ステップ 1.2

頂点形、

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

a

$a$ 、

h

$h$ 、

k

$k$ の値を求めます。

a = 2

$a = 2$

h = \frac{3}{4}

$h = \frac{3}{4}$

k = - \frac{1}{8}

$k = - \frac{1}{8}$

ステップ 1.3

a

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点

(h, k)

$(h, k)$ を求めます。

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離

p

$p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

a

$a$ の値を公式に代入します。

\frac{1}{4 \cdot 2}

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

4

$4$ に

2

$2$ をかけます。

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

p

$p$ をy座標

k

$k$ に加えて求められます。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

h

$h$ と

p

$p$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標

k

$k$ から

p

$p$ を引いて求められる水平線です。

y = k - p

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

p

$p$ と

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

焦点：

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

対称軸：

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

準線：

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

方向：上に開

頂点：

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

焦点：

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

対称軸：

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

準線：

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

ステップ 2

x

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する

y

$y$ 値を求めます。

x

$x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数

x

$x$ を

0

$0$ で置換えます。

f (0) = 2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

0

$0$ を正数乗し、

0

$0$ を得ます。

f (0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1

$f (0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 2.2.1.2

2

$2$ に

0

$0$ をかけます。

f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 2.2.1.3

- 3

$- 3$ に

0

$0$ をかけます。

f (0) = 0 + 0 + 1

$f (0) = 0 + 0 + 1$

f (0) = 0 + 0 + 1

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 2.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

0

$0$ と

0

$0$ をたし算します。

f (0) = 0 + 1

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 2.2.2.2

0

$0$ と

1

$1$ をたし算します。

f (0) = 1

$f (0) = 1$

f (0) = 1

$f (0) = 1$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは

1

$1$ です。

1

$1$

1

$1$

ステップ 2.3

x = 0

$x = 0$ における

y

$y$ 値は

1

$1$ です。

y = 1

$y = 1$

ステップ 2.4

式の変数

x

$x$ を

- 1

$- 1$ で置換えます。

f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 1

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

- 1

$- 1$ を

2

$2$ 乗します。

f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 1

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 2.5.1.2

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

f (- 1) = 2 - 3 \cdot - 1 + 1

$f (- 1) = 2 - 3 \cdot - 1 + 1$

ステップ 2.5.1.3

- 3

$- 3$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

f (- 1) = 2 + 3 + 1

$f (- 1) = 2 + 3 + 1$

f (- 1) = 2 + 3 + 1

$f (- 1) = 2 + 3 + 1$

ステップ 2.5.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

2

$2$ と

3

$3$ をたし算します。

f (- 1) = 5 + 1

$f (- 1) = 5 + 1$

ステップ 2.5.2.2

5

$5$ と

1

$1$ をたし算します。

f (- 1) = 6

$f (- 1) = 6$

f (- 1) = 6

$f (- 1) = 6$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは

6

$6$ です。

6

$6$

6

$6$

ステップ 2.6

x = - 1

$x = - 1$ における

y

$y$ 値は

6

$6$ です。

y = 6

$y = 6$

ステップ 2.7

式の変数

x

$x$ を

2

$2$ で置換えます。

f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

指数を足して

2

$2$ に

{(2)}^{2}

${(2)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1.1

2

$2$ に

{(2)}^{2}

${(2)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1.1.1

2

$2$ を

1

$1$ 乗します。

f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 2.8.1.1.1.2

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

f (2) = 2^{1 + 2} - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 2^{1 + 2} - 3 \cdot 2 + 1$

f (2) = 2^{1 + 2} - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 2^{1 + 2} - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 2.8.1.1.2

1

$1$ と

2

$2$ をたし算します。

f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 2.8.1.2

2

$2$ を

3

$3$ 乗します。

f (2) = 8 - 3 \cdot 2 + 1

$f (2) = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

ステップ 2.8.1.3

- 3

$- 3$ に

2

$2$ をかけます。

f (2) = 8 - 6 + 1

$f (2) = 8 - 6 + 1$

f (2) = 8 - 6 + 1

$f (2) = 8 - 6 + 1$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

8

$8$ から

6

$6$ を引きます。

f (2) = 2 + 1

$f (2) = 2 + 1$

ステップ 2.8.2.2

2

$2$ と

1

$1$ をたし算します。

f (2) = 3

$f (2) = 3$

f (2) = 3

$f (2) = 3$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは

3

$3$ です。

3

$3$

3

$3$

ステップ 2.9

x = 2

$x = 2$ における

y

$y$ 値は

3

$3$ です。

y = 3

$y = 3$

ステップ 2.10

式の変数

x

$x$ を

3

$3$ で置換えます。

f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

3

$3$ を

2

$2$ 乗します。

f (3) = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1

$f (3) = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1$

ステップ 2.11.1.2

2

$2$ に

9

$9$ をかけます。

f (3) = 18 - 3 \cdot 3 + 1

$f (3) = 18 - 3 \cdot 3 + 1$

ステップ 2.11.1.3

- 3

$- 3$ に

3

$3$ をかけます。

f (3) = 18 - 9 + 1

$f (3) = 18 - 9 + 1$

f (3) = 18 - 9 + 1

$f (3) = 18 - 9 + 1$

ステップ 2.11.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

18

$18$ から

9

$9$ を引きます。

f (3) = 9 + 1

$f (3) = 9 + 1$

ステップ 2.11.2.2

9

$9$ と

1

$1$ をたし算します。

f (3) = 10

$f (3) = 10$

f (3) = 10

$f (3) = 10$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは

10

$10$ です。

10

$10$

10

$10$

ステップ 2.12

x = 3

$x = 3$ における

y

$y$ 値は

10

$10$ です。

y = 10

$y = 10$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

焦点：

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

対称軸：

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

準線：

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例