代数例

$y = (x + 2) (x - 3)$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$(x + 2) (x - 3)$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(x + 2) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

ステップ 1.1.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

ステップ 1.1.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

ステップ 1.1.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.2.1.1

$x$ に

$x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

ステップ 1.1.1.1.2.1.2

$- 3$ を

$x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

ステップ 1.1.1.1.2.1.3

$2$ に

$- 3$ をかけます。

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

ステップ 1.1.1.1.2.2

$- 3 x$ と

$2 x$ をたし算します。

$x^{2} - x - 6$

ステップ 1.1.1.2

式

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

$a$ 、

$b$ 、

$c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 1$

$c = - 6$

ステップ 1.1.1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.4

公式

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$a$ と

$b$ の値を公式

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

$- 1$ と

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 1$ を

$- 1 (1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.1.1.5

公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

$e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

$c$ 、

$b$ 、および

$a$ の値を公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.1.1

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.5.2.1.2

$4$ に

$1$ をかけます。

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.2

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.3

$- 6$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.2.5.1

$- 6$ に

$4$ をかけます。

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.5.2

$- 24$ から

$1$ を引きます。

$e = \frac{- 25}{4}$

ステップ 1.1.1.5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.1.6

$a$ 、

$d$ 、および

$e$ の値を頂点形

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ に代入します。

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 1.2

頂点形、

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

$a$ 、

$h$ 、

$k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点

$(h, k)$ を求めます。

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離

$p$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

$p$ をy座標

$k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と

$p$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{1}{2}, - 6)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標

$k$ から

$p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{13}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

焦点：

$(\frac{1}{2}, - 6)$

対称軸：

$x = \frac{1}{2}$

準線：

$y = - \frac{13}{2}$

方向：上に開

頂点：

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

焦点：

$(\frac{1}{2}, - 6)$

対称軸：

$x = \frac{1}{2}$

準線：

$y = - \frac{13}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する

$y$ 値を求めます。

$x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の変数

$x$ を

$- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ と

$2$ をたし算します。

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

ステップ 2.2.2

$(- 1) - 3$ に

$1$ をかけます。

$f (- 1) = (- 1) - 3$

ステップ 2.2.3

$- 1$ から

$3$ を引きます。

$f (- 1) = - 4$

ステップ 2.2.4

最終的な答えは

$- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.3

$x = - 1$ における

$y$ 値は

$- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.4

式の変数

$x$ を

$- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 2$ と

$2$ をたし算します。

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

ステップ 2.5.2

$- 2$ から

$3$ を引きます。

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

ステップ 2.5.3

$0$ に

$- 5$ をかけます。

$f (- 2) = 0$

ステップ 2.5.4

最終的な答えは

$0$ です。

$0$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における

$y$ 値は

$0$ です。

$y = 0$

ステップ 2.7

式の変数

$x$ を

$1$ で置換えます。

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$1$ と

$2$ をたし算します。

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

ステップ 2.8.2

$1$ から

$3$ を引きます。

$f (1) = 3 \cdot - 2$

ステップ 2.8.3

$3$ に

$- 2$ をかけます。

$f (1) = - 6$

ステップ 2.8.4

最終的な答えは

$- 6$ です。

$- 6$

ステップ 2.9

$x = 1$ における

$y$ 値は

$- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 2.10

式の変数

$x$ を

$2$ で置換えます。

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$2$ と

$2$ をたし算します。

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

ステップ 2.11.2

$2$ から

$3$ を引きます。

$f (2) = 4 \cdot - 1$

ステップ 2.11.3

$4$ に

$- 1$ をかけます。

$f (2) = - 4$

ステップ 2.11.4

最終的な答えは

$- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.12

$x = 2$ における

$y$ 値は

$- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

焦点：

$(\frac{1}{2}, - 6)$

対称軸：

$x = \frac{1}{2}$

準線：

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例