代数例

$x^{5} - 81 x = 0$

ステップ 1

$x$ を $x^{5} - 81 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

ステップ 1.2

$x$ を $- 81 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

ステップ 1.3

$x$ を $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 81) = 0$

ステップ 2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

ステップ 3

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 5

因数分解。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

ステップ 5.1.2

因数分解。

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ステップ 5.1.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

ステップ 5.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 5.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 7

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 8

$x^{2} + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x^{2} + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 8.2

$x$ について $x^{2} + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 8.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 8.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 8.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 8.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 8.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 8.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 8.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 8.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 8.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 8.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 9

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 10

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 11

最終解は $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

代数 例

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