代数例

$27 x^{3} + 125 = 0$

ステップ 1

$27 x^{3}$ を ${(3 x)}^{3}$ に書き換えます。

${(3 x)}^{3} + 125 = 0$

ステップ 2

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

${(3 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

ステップ 3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 5$ です。

$(3 x + 5) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$(3 x + 5) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 3 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 4.4

$5$ に $- 3$ をかけます。

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 15 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 4.5

$5$ を $2$ 乗します。

$(3 x + 5) (9 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 5 = 0$

$9 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

ステップ 6

$3 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$3 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 5 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $3 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$3 x = - 5$

ステップ 6.2.2

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3 x = - 5$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{3}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{3}$

ステップ 7

$9 x^{2} - 15 x + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$9 x^{2} - 15 x + 25$ が $0$ に等しいとします。

$9 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $9 x^{2} - 15 x + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2.2

$a = 9$ 、 $b = - 15$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 25)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 9 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 36 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.2.2

$- 36$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.3

$225$ から $900$ を引きます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.4

$- 675$ を $- 1 (675)$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (675)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.7

$675$ を $15^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.7.1

$225$ を $675$ で因数分解します。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.7.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.1.9

$15$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 7.2.3.3

$\frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 9 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 36 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.2.2

$- 36$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.3

$225$ から $900$ を引きます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.4

$- 675$ を $- 1 (675)$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (675)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.7

$675$ を $15^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.4.1.7.1

$225$ を $675$ で因数分解します。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.7.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.1.9

$15$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 7.2.4.3

$\frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.5.1.1

$- 15$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 9 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 36 \cdot 25}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.2.2

$- 36$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.3

$225$ から $900$ を引きます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.4

$- 675$ を $- 1 (675)$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (675)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.7

$675$ を $15^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1.7.1

$225$ を $675$ で因数分解します。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.7.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.1.9

$15$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

ステップ 7.2.5.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$

ステップ 7.2.5.3

$\frac{15 \pm 15 i \sqrt{3}}{18}$ を簡約します。

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

ステップ 8

最終解は $(3 x + 5) (9 x^{2} - 15 x + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

代数 例

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