代数例

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\frac{12}{x^{2} - 1}$ を引きます。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

ステップ 2

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

ステップ 2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.2

$\frac{3 x}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.3

$\frac{3 x}{x + 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$3$ を $3 x (x - 1) - 12$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.1.1

$3$ を $3 x (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5.1.2

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5.1.3

$3$ を $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5.4

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.5.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

ステップ 2.6

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ を掛けます。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.7

$- 2$ と $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ をまとめます。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.2

簡約します。

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ステップ 2.9.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.2.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - 2) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.9.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.9.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.9.6.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.9.6.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6.2

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.6.3

$- 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.7

$3 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.8

$- 12$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.9.9

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.9.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 2.9.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

ステップ 3

分子を0に等しくします。

$(x - 5) (x + 2) = 0$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.4

最終解は $(x - 5) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 2$

代数 例

代数例