代数例

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x + 6) = 3$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} (x (x + 6)) = 3$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 6) = 3$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 6) = 3$

ステップ 1.3.2

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 3$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{3} (x^{2} + 6 x) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{3} = x^{2} + 6 x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} + 6 x = 3^{3}$ として書き換えます。

$x^{2} + 6 x = 3^{3}$

ステップ 3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$x^{2} + 6 x = 27$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$x^{2} + 6 x - 27 = 0$

ステップ 3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 6 x - 27$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 27$ で、その和が $6$ です。

$- 3, 9$

ステップ 3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 9) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 9 = 0$

ステップ 3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.7

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 3.8

最終解は $(x - 3) (x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 9$

ステップ 4

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x + 6) = 3$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

代数 例

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