代数例

$\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{- 3} = \frac{1}{125}$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{125}$

ステップ 2.2

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot 1$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式を $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ として書き換えます。

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

ステップ 2.3.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} = 1 \cdot 125$

ステップ 2.3.3

$125$ に $1$ をかけます。

$x^{3} = 125$

ステップ 2.3.4

方程式の両辺から $125$ を引きます。

$x^{3} - 125 = 0$

ステップ 2.3.5

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.5.1

$125$ を $5^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 5^{3} = 0$

ステップ 2.3.5.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.3.5.3

簡約します。

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ステップ 2.3.5.3.1

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

ステップ 2.3.5.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

ステップ 2.3.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

ステップ 2.3.7

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.7.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.3.8

$x^{2} + 5 x + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.8.1

$x^{2} + 5 x + 25$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

ステップ 2.3.8.2

$x$ について $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.8.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3.8.2.2

$a = 1$ 、 $b = 5$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.8.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.8.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 2.3.8.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.8.2.3.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.8.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.8.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3.9

最終解は $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

代数 例

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