代数例

$\sqrt[4]{x^{3}} = 64$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 64^{4}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x^{3}}$ を $x^{\frac{3}{4}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 64^{4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

ステップ 2.2.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

ステップ 2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{3} = 64^{4}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$64$ を $4$ 乗します。

$x^{3} = 16777216$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $16777216$ を引きます。

$x^{3} - 16777216 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$16777216$ を $256^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 256^{3} = 0$

ステップ 3.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 256$ です。

$(x - 256) (x^{2} + x \cdot 256 + 256^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$256$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 256^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3.2

$256$ を $2$ 乗します。

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 256 = 0$

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

ステップ 3.4

$x - 256$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 256$ が $0$ に等しいとします。

$x - 256 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $256$ を足します。

$x = 256$

ステップ 3.5

$x^{2} + 256 x + 65536$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} + 256 x + 65536$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $x^{2} + 256 x + 65536 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 256$ 、および $c = 65536$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 256 \pm \sqrt{256^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65536)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3

簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$256$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 1 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 65536$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $65536$ をかけます。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 262144}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$65536$ から $262144$ を引きます。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 196608}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.4

$- 196608$ を $- 1 (196608)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196608}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (196608)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.7

$196608$ を $256^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.2.3.1.7.1

$65536$ を $196608$ で因数分解します。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{65536 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.7.2

$65536$ を $256^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{256^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot (256 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.9

$256$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.5.2.3.3

$\frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 128 \pm 128 i \sqrt{3}$

ステップ 3.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

ステップ 3.6

最終解は $(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 256, - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

代数 例

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