代数例

$\log_{x} (125) = - 3$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{x} (125) = - 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{- 3} = 125$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{3}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{3}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x^{3}} = 125$ の各項に $x^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{x^{3}} = 125$ の各項に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = 125 x^{3}$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式を $125 x^{3} = 1$ として書き換えます。

$125 x^{3} = 1$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$125 x^{3} - 1 = 0$

ステップ 2.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.4.3.1

$125 x^{3}$ を ${(5 x)}^{3}$ に書き換えます。

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 2.4.3.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 5 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.4.3.4

簡約します。

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ステップ 2.4.3.4.1

積の法則を $5 x$ に当てはめます。

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.4.3.4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.4.3.4.3

$5$ に $1$ をかけます。

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.4.3.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

ステップ 2.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.5

$5 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.5.1

$5 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 1 = 0$

ステップ 2.4.5.2

$x$ について $5 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 x = 1$

ステップ 2.4.5.2.2

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.5.2.2.1

$5 x = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.4.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{5}$

ステップ 2.4.6

$25 x^{2} + 5 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.6.1

$25 x^{2} + 5 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.6.2

$x$ について $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.6.2.2

$a = 25$ 、 $b = 5$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.6.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 25 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.2.2

$- 100$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.6.2.3.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

ステップ 2.4.6.2.3.2

$2$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

ステップ 2.4.6.2.3.3

$\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.4.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

ステップ 2.4.7

最終解は $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

代数 例

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