代数例

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 3 u - 4$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 4) = 0$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 1) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 8

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 10

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 10.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 10.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 10.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 10.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 10.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 10.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 10.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 10.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 10.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 11

最終解は $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1, 2 i, - 2 i$

代数 例

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