代数例

$\log_{x} (1000) = 3$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{x} (1000) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$x^{3} = 1000$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から $1000$ を引きます。

$x^{3} - 1000 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1000$ を $10^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 10^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 10$ です。

$(x - 10) (x^{2} + x \cdot 10 + 10^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 10^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3.2

$10$ を $2$ 乗します。

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

ステップ 2.4

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 2.5

$x^{2} + 10 x + 100$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} + 10 x + 100$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 10 x + 100 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 10$ 、および $c = 100$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 100)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

$10$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 100$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $100$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$100$ から $400$ を引きます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 300$ を $- 1 (300)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (300)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$300$ を $10^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.7.1

$100$ を $300$ で因数分解します。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

代数 例

代数例