代数例

$f (x) = 2^{x}$

ステップ 1

$f (x) = 2^{x}$ を方程式で書きます。

$y = 2^{x}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 2^{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $2^{y} = x$ として書き換えます。

$2^{y} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{y}) = \ln (x)$

ステップ 3.3

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{y})$ を展開します。

$y \ln (2) = \ln (x)$

ステップ 3.4

$y \ln (2) = \ln (x)$ の各項を $\ln (2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$y \ln (2) = \ln (x)$ の各項を $\ln (2)$ で割ります。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

ステップ 3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ が $f (x) = 2^{x}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 2^{x}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

ステップ 5.2.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 5.2.4

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

ステップ 5.3.3

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x)}$

ステップ 5.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ は $f (x) = 2^{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

代数 例

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