代数例

$x = \sqrt{x + 13} + 7$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $\sqrt{x + 13}$ を引きます。

$x - \sqrt{x + 13} = 7$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x - \sqrt{x + 13} - 7 = 0$

ステップ 2

$- \sqrt{x + 13}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- \sqrt{x + 13} - 7 = - x$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$- \sqrt{x + 13} = - x + 7$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x + 13})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 13}$ を ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${(- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2.1.3

${({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2.1.4

${({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 13)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 13)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x + 13)}^{1} = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.2.1.5

簡約します。

$x + 13 = {(- x + 7)}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

${(- x + 7)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

${(- x + 7)}^{2}$ を $(- x + 7) (- x + 7)$ に書き換えます。

$x + 13 = (- x + 7) (- x + 7)$

ステップ 4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 7) (- x + 7)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 13 = - x (- x + 7) + 7 (- x + 7)$

ステップ 4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 13 = - x (- x) - x \cdot 7 + 7 (- x + 7)$

ステップ 4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 13 = - x (- x) - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x + 13 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$x + 13 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 13 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 13 = 1 x^{2} - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x + 13 = x^{2} - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.5

$7$ に $- 1$ をかけます。

$x + 13 = x^{2} - 7 x + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.6

$- 1$ に $7$ をかけます。

$x + 13 = x^{2} - 7 x - 7 x + 7 \cdot 7$

ステップ 4.3.1.3.1.7

$7$ に $7$ をかけます。

$x + 13 = x^{2} - 7 x - 7 x + 49$

ステップ 4.3.1.3.2

$- 7 x$ から $7 x$ を引きます。

$x + 13 = x^{2} - 14 x + 49$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 14 x + 49 = x + 13$

ステップ 5.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 14 x + 49 - x = 13$

ステップ 5.2.2

$- 14 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 15 x + 49 = 13$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$x^{2} - 15 x + 49 - 13 = 0$

ステップ 5.4

$49$ から $13$ を引きます。

$x^{2} - 15 x + 36 = 0$

ステップ 5.5

たすき掛けを利用して $x^{2} - 15 x + 36$ を因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $36$ で、その和が $- 15$ です。

$- 12, - 3$

ステップ 5.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 12) (x - 3) = 0$

ステップ 5.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 12 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 5.7

$x - 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$x - 12 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

ステップ 5.8

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.8.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.8.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.9

最終解は $(x - 12) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 12, 3$

ステップ 6

$x - \sqrt{x + 13} - 7 = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 12$

代数 例

代数例