代数例

$x^{6} + 7 x^{3} - 8 = 0$

ステップ 1

$x^{6}$ を ${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{3})}^{2} + 7 x^{3} - 8 = 0$

ステップ 2

$u = x^{3}$ とします。 $u$ を $x^{3}$ に代入します。

$u^{2} + 7 u - 8 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 7 u - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $7$ です。

$- 1, 8$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 8) = 0$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$(x^{3} - 1) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 5

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 6

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 7.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 8

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

ステップ 9

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 10

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

ステップ 10.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 12

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 13

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 13.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 13.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 13.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 13.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 13.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 13.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 14

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 15

$x^{2} - 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$x^{2} - 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 15.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 15.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 15.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 15.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 15.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 15.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 15.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 15.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 15.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 15.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 16

最終解は $(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

代数 例

代数例