代数例

$x^{3} - 13 x^{2} + 47 x - 35 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 13 x^{2} + 47 x - 35$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1$

ステップ 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

ステップ 1.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 13 \cdot 1^{2} + 47 \cdot 1 - 35$

ステップ 1.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 13 \cdot 1^{2} + 47 \cdot 1 - 35$

ステップ 1.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 13 \cdot 1 + 47 \cdot 1 - 35$

ステップ 1.1.3.4

$- 13$ に $1$ をかけます。

$1 - 13 + 47 \cdot 1 - 35$

ステップ 1.1.3.5

$1$ から $13$ を引きます。

$- 12 + 47 \cdot 1 - 35$

ステップ 1.1.3.6

$47$ に $1$ をかけます。

$- 12 + 47 - 35$

ステップ 1.1.3.7

$- 12$ と $47$ をたし算します。

$35 - 35$

ステップ 1.1.3.8

$35$ から $35$ を引きます。

$0$

ステップ 1.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 13 x^{2} + 47 x - 35}{x - 1}$

ステップ 1.1.5

$x^{3} - 13 x^{2} + 47 x - 35$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$47 x$

$35$

ステップ 1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$

ステップ 1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

ステップ 1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$

ステップ 1.1.5.7

被除数 $- 12 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$

ステップ 1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 12 x^{2} + 12 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

ステップ 1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$35 x$

ステップ 1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

ステップ 1.1.5.12

被除数 $35 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

ステップ 1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							+	$35 x$	-	$35$

ステップ 1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $35 x - 35$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$

ステップ 1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$47 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$
										$0$

ステップ 1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 12 x + 35$

ステップ 1.1.6

$x^{3} - 13 x^{2} + 47 x - 35$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 1) (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 12 x + 35$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 12 x + 35$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $35$ で、その和が $- 12$ です。

$- 7, - 5$

ステップ 1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) ((x - 7) (x - 5)) = 0$

ステップ 1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) (x - 7) (x - 5) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

最終解は $(x - 1) (x - 7) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 7, 5$

代数 例

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