代数例

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{16 - 4}$

ステップ 5.3.4

$16$ から $4$ を引きます。

$\sqrt{12}$

ステップ 5.3.5

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.5.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (3)}$

ステップ 5.3.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 4)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, 4)$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (4))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - 4)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + 2 \sqrt{3})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, 2 \sqrt{3})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (2 \sqrt{3}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - 2 \sqrt{3})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

ステップ 8.3.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

ステップ 8.3.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

ステップ 8.3.1.4

$16$ から $4$ を引きます。

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

ステップ 8.3.1.5

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.1.5.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

ステップ 8.3.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

ステップ 8.3.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 8.3.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

偏心： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

代数 例

代数例