代数例

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2} - 2 x - 8$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

式

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

$a$ 、

$b$ 、

$c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 8$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

$d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と

$b$ の値を公式

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2

$- 2$ と

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

$2$ を

$- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.2.1

$2$ を

$2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.4

$- 1$ を

$1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.1.1.4

公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

$e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、

$b$ 、および

$a$ の値を公式

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$- 2$ を

$2$ 乗します。

$e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に

$1$ をかけます。

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$e = - 8 - 1$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$- 8$ から

$1$ を引きます。

$e = - 9$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、

$d$ 、および

$e$ の値を頂点形

${(x - 1)}^{2} - 9$ に代入します。

${(x - 1)}^{2} - 9$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

ステップ 1.2

頂点形、

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

$a$ 、

$h$ 、

$k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 9$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点

$(h, k)$ を求めます。

$(1, - 9)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離

$p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

$p$ をy座標

$k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と

$p$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(1, - \frac{35}{4})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 1$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標

$k$ から

$p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{37}{4}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

$(1, - 9)$

焦点：

$(1, - \frac{35}{4})$

対称軸：

$x = 1$

準線：

$y = - \frac{37}{4}$

方向：上に開

頂点：

$(1, - 9)$

焦点：

$(1, - \frac{35}{4})$

対称軸：

$x = 1$

準線：

$y = - \frac{37}{4}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する

$y$ 値を求めます。

$x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数

$x$ を

$0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 8$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 8$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に

$0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 8$

ステップ 2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$0$ と

$0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 8$

ステップ 2.2.2.2

$0$ から

$8$ を引きます。

$f (0) = - 8$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは

$- 8$ です。

$- 8$

ステップ 2.3

$x = 0$ における

$y$ 値は

$- 8$ です。

$y = - 8$

ステップ 2.4

式の変数

$x$ を

$- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 8$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 8$

ステップ 2.5.1.2

$- 2$ に

$- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 + 2 - 8$

ステップ 2.5.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$1$ と

$2$ をたし算します。

$f (- 1) = 3 - 8$

ステップ 2.5.2.2

$3$ から

$8$ を引きます。

$f (- 1) = - 5$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは

$- 5$ です。

$- 5$

ステップ 2.6

$x = - 1$ における

$y$ 値は

$- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 2.7

式の変数

$x$ を

$2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 8$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$2$ を

$2$ 乗します。

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 8$

ステップ 2.8.1.2

$- 2$ に

$2$ をかけます。

$f (2) = 4 - 4 - 8$

ステップ 2.8.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$4$ から

$4$ を引きます。

$f (2) = 0 - 8$

ステップ 2.8.2.2

$0$ から

$8$ を引きます。

$f (2) = - 8$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは

$- 8$ です。

$- 8$

ステップ 2.9

$x = 2$ における

$y$ 値は

$- 8$ です。

$y = - 8$

ステップ 2.10

式の変数

$x$ を

$3$ で置換えます。

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 8$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1.1

$3$ を

$2$ 乗します。

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 8$

ステップ 2.11.1.2

$- 2$ に

$3$ をかけます。

$f (3) = 9 - 6 - 8$

ステップ 2.11.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.2.1

$9$ から

$6$ を引きます。

$f (3) = 3 - 8$

ステップ 2.11.2.2

$3$ から

$8$ を引きます。

$f (3) = - 5$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは

$- 5$ です。

$- 5$

ステップ 2.12

$x = 3$ における

$y$ 値は

$- 5$ です。

$y = - 5$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 8 \\ 1 & - 9 \\ 2 & - 8 \\ 3 & - 5 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

$(1, - 9)$

焦点：

$(1, - \frac{35}{4})$

対称軸：

$x = 1$

準線：

$y = - \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 8 \\ 1 & - 9 \\ 2 & - 8 \\ 3 & - 5 \end{array}$

ステップ 4

代数 例

代数例